Магический квадрат очень популярен у любителей логических игр. Это таблица, заполненная особым образом. Кроме того, сумма чисел одинакова во всех направлениях. Это значение обычно называют константой. Существует множество вариаций этих головоломок разной степени сложности. Содержание:
- История и современные приложения
- Разместить нечетный заказ
- Единый паритет
- Двойной заказ
История и современное применение
Первые таблицы такого типа использовались в Древней Греции и Китае. Это подтверждают археологические находки. Арабы называли магические квадраты, потому что считали, что они обладают магическими свойствами и могут защитить от многих напастей.
В середине 16 века вопрос о том, как работает магический квадрат, интересовал математиков в Европе. Они начали активно исследовать загадочные комбинации чисел. Ученые пытались вывести общие принципы построения квадратов и найти все возможные варианты.
В современной общеобразовательной школе на уроках математики используются разные виды магических квадратов. Они способствуют развитию логического мышления и вызывают у детей живой интерес.
С их помощью студенты учатся планировать и контролировать свою работу. В ячейки можно вводить не только отдельные числа, но и математические выражения. Задачи на эту тему часто ставятся на математических олимпиадах. Вы также можете решить эти числовые задачи в Интернете.
Квадрат нечётного порядка
Среди простых магических квадратов в математике есть разновидности четного и нечетного порядка. Первая группа делится на таблицы одинарного и двойного паритета.
Первым шагом во всех случаях является определение магической константы. Делается это по специальной формуле [n * (n2 + 1)] / 2. Чтобы понять принцип решения задачи этого класса, вы можете использовать простейший пример. Для этого строится таблица из 9 ячеек. Вам необходимо ввести цифры от 1 до 9. Дополнительный алгоритм:
- Рассчитывается сумма, которая должна быть получена в каждой строке. Для этого используется формула: 3 * (32 +1) / 2 = 3 * 10 / 2. Ответом будет число 15.
- Числа в ячейках расположены так, что их сумма равна 15 в каждой строке. Это требует смекалки и воображения.
- Средняя ячейка верхнего ряда содержит 1.
- Каждый последующий номер ставится справа по диагонали вверх. Вы не можете ввести цифру 2, так как над ней нет строк. Если мысленно добавить еще один квадрат вверху, цифра 2 будет в правом нижнем углу. Это означает, что цифра 2 помещается в нижнюю правую ячейку.
- По такому же принципу вводится цифра 3. Она попадает в центральную ячейку слева.
- Если требуемая ячейка уже занята, следующий символ вставляется ниже предыдущего. Итак, 4 ставится под 3.
- Цифра 5 написана по диагонали справа и сверху, а цифра 6 – в правом верхнем углу.
- Поскольку место числа 7 уже занято, оно подходит под число 6.
- Отто происходит в левом нижнем углу.
- Оставшуюся площадь занимает девятка.
Общий алгоритм выполнения задания: каждый последующий символ пишется вверху и справа. Если клетки нет, рисуется еще один воображаемый квадрат. Если ячейка занята, номер записывается ниже предыдущего. Таким способом можно составить любой квадрат нечетного порядка, в том числе и самый сложный, с большим количеством ячеек.
Одинарная чётность
Магические квадраты могут быть одинарными или двойными. Для каждого случая существует отдельная методика расчета. Для таблиц с одной четностью количество ячеек в строке или столбце уменьшается вдвое, но не делится на четыре. Наименьший квадрат, отвечающий этому требованию, – это прямоугольник 6×6. Построить и заполнить фигуру 2х2 невозможно.
Вычисление магической константы
Первый этап вычислений выполняется по формуле [n * (n2 + 1)] / 2, где символ n указывает количество ячеек в строке. Если мы возьмем квадрат 6×6 в качестве примера, расчет будет выглядеть так: [6 x (36 + 1)]: 2 = (6 x 37): 2 = 222: 2.
Магическая константа прямоугольника с 6 ячейками равна 111. Общая сумма чисел от 1 до 36 в каждой строке и в разных направлениях должна быть 111.
Рисунок разделен на 4 одинаковые части. В каждой будет по 9 ячеек (3×3). Каждая часть обозначена латинскими буквами: A – верхний левый, C – верхний правый, D – нижний левый и B – нижний правый. Если квадрат другого размера, n делится на 2, чтобы найти точный размер каждой из 4 частей.
Дальнейшие действия
Следующим шагом будет записать все числа в каждой части. В квадранте A вводятся числа от 1 до 9, в квадранте B – от 10 до 18, в части C – от 19 до 27, в D – от 28 до 36.
Последовательность компиляции такая же, как и при составлении простейшего нечетного квадрата:
- Минимальное число, которое начинает заполнять ячейки, всегда помещается в верхнюю центральную строку. Каждая часть имеет эту ячейку отдельно.
- Каждая часть составляется как новый математический объект. Даже если в другом поле есть пустое место, в этих случаях оно игнорируется.
В блоках A и D на этом этапе решения сумма в строках и столбцах будет отличаться от постоянной. Чтобы решить эту проблему, некоторые числа меняются местами.
Алгоритм действий:
- Вам нужно начать с крайней левой ячейки в верхнем ряду. Если фигура имеет размеры 6×6, выделяется только первая верхняя строка части A. В ней должно быть написано число 8. Если размер таблицы 10×10, выделите первые 2 ячейки верхней строки. Стоят они 17 и 24.
- Из выбранных ячеек формируется промежуточный квадрат. В таблице с 6×6 строками и столбцами он будет состоять из 1 ячейки. Его условно обозначают A1.
- Если размер 10×10, первые 2 ячейки выделяются в верхнем ряду. Вместе с ними выделяются еще 2 ячейки, во втором ряду получается поле из 4 соседних ячеек.
- В следующей строке первая ячейка пропускается, поэтому выбирается столько же ячеек, сколько было в промежуточной таблице A1. Получившуюся фигуру можно обозначить А2.
- Точно так же строится средний квадрат A3.
- Эти 3 промежуточные формы образуют выборку А.
- Затем они переходят в квадрант D и образуют отдельную область D.
Цифры, которые были вписаны в выделенные треугольники A и D, необходимо поменять местами. После этого сумма в каждой строке должна быть одинаковой. Он равен рассчитанной магической постоянной.
Двойной порядок
Если головоломка имеет двойной порядок четности, количество окон в каждой горизонтальной строке или вертикальном столбце должно делиться на 4. Минимальная цифра с этими свойствами будет таблицей 4×4.
Чтобы решить магические квадраты двойной четности, следуйте тому же алгоритму, что и другие. Первый шаг в компиляции – это вычисление магической константы. Формула такая же, как и для других квадратов. Для фигуры со стороной из 4 ячеек постоянное значение будет 34.
Промежуточные таблицы выделены в каждом углу основного поля. Их размер должен быть n / 4. Эти области обозначаются буквами A, B, C, D, размещая их против часовой стрелки. Размер промежуточных фигур зависит от размера исходного квадрата:
- Если длина стороны 4 ячейки, промежуточные зоны будут иметь по 1 ячейке в каждой.
- В таблице 8×8 эти области включают 4 элемента (2×2).
- В квадрате 12×12 выделяются промежуточные фигуры 3×3.
Следующим шагом будет изготовление центрального промежуточного квадрата. Размер его стороны должен быть n / 2. Этот рисунок не должен перекрывать периферию, но при этом касаться их по углам.
Далее числа вводятся в квадрат слева направо. Их можно размещать только в свободных ячейках, входящих в состав промежуточных участков. Например, при заполнении таблицы 4х4 порядок действий будет следующим:
- В первой строке сверху и первом столбце слева записывается 1. В верхней ячейке четвертого столбца – 4.
- Цифры 6 и 7 расположены в центре второй горизонтальной линии.
- В четвертой строке слева написано 13, а справа – 16.
По такому же принципу заполняются остальные ячейки числами. Цифры расположены внизу слева в порядке убывания. Если все сделать правильно, сумма всех чисел в любой строке будет одинаковой.
